同一の商品を多数、入札者グループに販売する場合、売り手は通常、各入札者から弱単調減少の入札スケジュールを引き出し、提示された入札スケジュールが真の需要を表すと仮定して市場清算価格を算出する。最も一般的な2つのオークション形式（Brenner et al. 2009、Maurer and Barroso 2011）は、市場清算価格から支払額をどのように算出するかが異なる。ペイ・アズ・ビッド方式では、入札者は獲得した各単位について申告した需要価格を支払う。一方、均一価格方式では、獲得した各単位について市場清算価格を支払う。
この2つの方式のどちらがより良い結果、とりわけ売り手の収益増加をもたらすかは、未解決の問題である。近年の理論研究は、結果の優劣は根本的に曖昧であることを示唆している（Ausubel et al. 2014）が、パラメーターを設定した状況では決着がつく可能性もある（Wang and Zender 2002）。こうしたモデルで説得力のある自然実験を一般に経済学者が目にすることはないため、実証的アプローチは難しい。オークションにかけられる商品の基本価値はマクロ経済パラメーターによってしばしば変動し、メカニズムの選択は外生的ではない。また、入札者は最終的なオークション形式に影響を与えようとして、短期的に最適ではない行動を取る可能性があると指摘されている（Binmore and Swierzbinski 2000、Heller and Lengwiler 2001）。
したがって、メカニズム選択の問題には、構造的な経済学的アプローチで取り組む必要がある。実証研究者は潜在的なタイプ分布を推定し、観測されていないオークション形式での反実仮想的な結果を算出する。実証研究では、このアプローチにより前述の理論上の曖昧さが裏付けられている。さまざまな状況で、どちらのオークション形式がわずかに優れている場合もあれば（Février et al. 2002、Kang and Puller 2008、Castellanos and Oviedo 2004、Armantier and Sbai 2006）、有意差がない場合もある（Hortaçsu and McAdams 2010）。この分野のさらなる進展は、ペイ・アズ・ビッド方式での結果の計算が難しいために妨げられてきた。
ペイ・アズ・ビッド方式の理解
経済学者は複数単位のペイ・アズ・ビッド・オークションについて、いくつかの重要な事実を把握している。純粋戦略均衡が存在し（Athey 2001、McAdams 2003）、入札者は幅の広い段差を持つ階段関数型の入札スケジュールを提出することで、最適な行動をかなり近似できる（Kastl 2012）。それでも、均衡行動を明示的に計算することは依然として難しい。Wilson（1979）は、複数単位オークションにおける分割可能財の近似を先駆的に導入し、同一の商品は離散的ではなく無限に分割可能であると仮定した。経済学における他の連続近似と同様、このモデルは、扱いにくい離散数学の問題を分析しやすい形で表現できる可能性をもたらす。
新たな研究
Woodward（2014）およびPycia and Woodward（2014）の近年の研究は、この近似が適切に定式化されており、かなり扱いやすい可能性があることを示唆している。これまで、一般的な分割可能財のペイ・アズ・ビッド・オークションにおける行動については、ほとんど知られていなかった。パラメーターを設定した状況では、均衡入札の構成例がある（Wang and Zender 2002、Federico and Rahman 2003、Holmberg 2009、Ausubel et al. 2014）。こうした結果は、多くの場合、不確実な供給量の特定の分布と、入札者の限界価値に依拠している。
任意の数の非対称な入札者がそれぞれ私的情報を持つ場合について、Woodward（2014）は純粋戦略均衡の存在を示している。適用された証明手法、すなわち複数単位オークションの入札戦略の擬似極限が相互に最適反応を構成することを検証する方法は、分割可能財の近似が妥当であることを示唆し、反実仮想的アプローチをさらに強く支持する。
この研究は、入札を大幅に平坦化する効果である「戦略的アイロニング」についても説明している。戦略的アイロニングは、2人の入札者がいる例で最も理解しやすい。供給量が大きく、どちらの入札者もオークションにかけられる全数量について正の限界価値を持たない場合、入札者は、競争相手が残余供給に価値を持たないため、最初の無限小の単位については競争に直面しないと分かっている。しかし、より大きな数量をめぐっては競争がある。
入札は減少しなければならないため、入札者はスケジュールを有効なものにするために、2つの圧力のバランスを取らなければならない。最初の無限小の数量には何も入札したくない一方で、入札を引き下げてより多くの数量を得る機会を不必要に手放したくないという圧力である。
図1。アイロニングの圧力では、少量に何も入札したくないという入札者の意向と、より多くの数量をめぐって効果的に競争したいという意向とのバランスが必要となる
出典：Woodward 2014。
この過程には自然なフィードバック効果がある。入札者Aが競争のある少量について入札を引き下げると競争が弱まり、それによって入札者Bも競争のある少量について入札を引き下げる。単一単位オークションにおける勝者の呪いと同様、実際の入札者がこのフィードバック効果を十分に考慮しない可能性は現実にある。シミュレーションによると、その結果、入札者は割り当てられた商品に最大20%過払いすることがある。さらに、入札者がアイロニングの圧力を考慮していない場合、構造的アプローチは入札者の真の価値を系統的に過大評価し、反実仮想的な収益推定に上方バイアスをもたらす。
図2。戦略的アイロニングにより、入札者は少量への入札を引き下げ、その数量をめぐる競争が弱まる。競争相手は最適反応として自身の入札も引き下げ、競争はさらに弱まる。そのため、戦略的アイロニングのない入札（黄色の点線）は、戦略的アイロニングのある入札（マゼンタの実線）を厳密に上回る
出典：Woodward 2014
Pycia and Woodward（2014）は、これらの結果を自然に補完する研究を示している。入札者が対称的な情報を持つ一方、供給量はランダムである場合（現実のオークションでよく見られる特徴）、均衡は一意であり、入札は扱いやすい解析形式を持ち、比較的簡単な不等式によって均衡の存在を検証できることを明らかにしている。これらの結果は構造推定手法をさらに支持する。入札者の価値の分布が与えられれば、ペイ・アズ・ビッド・オークションの均衡結果を容易に特定できるため、売り手の期待収益も比較的簡単に計算できる。
図3。供給が確実になるにつれて変化する均衡入札関数（黄色）。限界価値は青、供給量の累積分布関数（CDF）は灰色
出典：Pycia and Woodward 2014。
均衡入札の単純な解析形式により、多くの有用な理論的結果が得られる。そのうちの1つは、とりわけ意外なものである。
供給量の分布とオークションの最低価格が最適に選ばれると、ペイ・アズ・ビッド方式と均一価格方式は収益同等となる。実際、2つのオークション形式はまったく同じ結果を生み出す。
これは、メカニズム選択をめぐる実証結果の曖昧さに新たな説明を与える。売り手が、どのメカニズムを導入するかを選ぶのと同じだけの資源を、選んだメカニズム内での最適化にも費やすなら、ペイ・アズ・ビッド方式でも均一価格方式でも、実証研究者が観測する結果はおおむね同じになるはずだ。
結び
分割可能財のペイ・アズ・ビッド・オークションにおける入札者の行動を理解することは、実際にペイ・アズ・ビッド方式と均一価格方式のどちらを導入すべきかという議論にとって重要である。これらのオークション形式は、毎年、何兆ドル相当もの商品の配分に使われている。均衡行動が明確に定義され、扱いやすい閉形式で表せる可能性があると分かれば、オークションの構造的実証研究は、ペイ・アズ・ビッド方式で観測されない結果を正しく推定できることが示唆される。上述の近年の研究は、価値ある市場における政策決定を後押しできる豊富な成果を提示している。
参考文献
Armantier O and E Sbaï（2006）、「入札者が非対称な場合の国債オークション形式の推定と比較」 Journal of Applied Econometrics。
Athey, S（2001）、「単一交差性質と不完備情報ゲームにおける純粋戦略均衡の存在」 Econometrica。
Ausubel, L, P Cramton, M Pycia, M Rostek, and M Weretka（2014）、「複数単位オークションにおける需要削減と非効率性」 Review of Economic Studies。
Brenner, M, D Galai, and O Sade（2009）、「ソブリン債オークション：均一価格か差別価格か？」 Journal of Monetary Economics。
S Castellanos and M Oviedo（2004）、「メキシコ国債の新発オークションにおける最適入札：構造的経済学アプローチによる結果」、ミメオ。
Federico G and D Rahman（2003）、「ペイ・アズ・ビッド方式の電力オークションにおける入札」 Journal of Regulatory Economics。
Février, P, R Préget, and M Visser（2004）、「持分オークションの計量経済学」、ミメオ。
Heller, D and Y Lengwiler（2001）、「財務省は価格差別を行うべきか？仮想的な入札関数を計算する手順」 Journal of Institutional and Theoretical Economics。
Holmberg, P（2009）、「ペイ・アズ・ビッド・オークションの供給関数均衡」 Journal of Regulatory Economics。
Hortaçsu, A and D McAdams（2010）、「分割可能財オークションにおけるメカニズム選択と戦略的入札：トルコ国債オークション市場の実証分析」 Journal of Political Economy。
Kang, B-S and S Puller（2008）、「分割可能財オークションにおける形式が効率性と収益に及ぼす影響：韓国国債オークションによる検証」 The Journal of Industrial Economics。
Kastl, J（2012）、「入札制約のある私的価値・分割可能財オークションの均衡の性質について」 Journal of Mathematical Economics。
Maurer, L and L Barroso（2011）、 電力オークション：効率的な慣行の概説、World Bank Publications。
McAdams, D（2003）、「不完備情報ゲームにおける単調均衡」 Econometrica。
Pycia, M and K Woodward（2014）、「ペイ・アズ・ビッド：情報を持たない入札者への分割可能財の販売」、ミメオ。
Wang, J and J Zender（2002）、「分割可能財のオークション」 Economic Theory。
Wilson, R（1979）、「株式のオークション」 The Quarterly Journal of Economics。
Woodward, K（2014）、「ペイ・アズ・ビッド・オークションにおける戦略的アイロニング」、ミメオ。
本記事は、 VoxEUとの協力により掲載されています。掲載は、世界経済フォーラムが見解を支持することを意味するものではありません。
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著者：Kyle Woodwardは、カリフォルニア大学ロサンゼルス校の経済学博士課程在籍者で、2015年に卒業予定。
画像：2007年2月14日、シンガポールの中央ビジネス地区で建物の前を歩く男性。REUTERS/Nicky Loh。
