ゼロという数が初めて記録された使用例が、最近発見され、3世紀または4世紀にまでさかのぼると判明したのがインドだったとしても、驚くにはあたりません。インド亜大陸の数学には豊かな歴史があり、3,000年以上前にさかのぼり、ヨーロッパで同様の進歩が起きる何世紀も前から発展を続け、その影響は中国や中東にも広がりました。
ゼロの概念を生み出しただけでなく、インドの数学者たちは、三角法、代数学、算術、負の数など、さまざまな分野の研究に先駆的な貢献をしました。なかでも重要なのは、今日も世界中で使われている十進法が、インドで初めて見られたことです。
数体系
紀元前1200年までさかのぼると、数学の知識は、総体として知られる広範な知識体系の一部として記録されていました。それはヴェーダと呼ばれます。これらの文献では、数は一般に10の累乗の組み合わせで表されていました。たとえば365は、300（3×10²）、60（6×10¹）、5（5×10⁰）の組み合わせで表せます。ただし、それぞれの10の累乗は記号の集まりではなく、名称で表されていました。この表記法がインドで十進位取り記数法が発展するうえで重要な役割を果たしたと、考えるのは妥当です。
さらに、紀元前3世紀からは、ブラーフミー数字の記録も残っています。これらは、今日世界の大半で使われている現代のインド数字、すなわちヒンドゥー・アラビア数字の前身です。ゼロが導入されると、古代インドの人々が高等数学を研究するための数学的な仕組みは、ほぼ整いました。
ゼロの概念
ゼロそのものの歴史は、はるかに古くまでさかのぼります。最近年代が特定された、最初のゼロの記録は、バクシャーリー写本として知られる文書にあり、100と10を区別するための単純な位取り記号でした。同様の印はすでに、西暦初期のバビロニア文明やマヤ文明で見られ、さらに紀元前3000～2000年のシュメール数学にもあったと考えられています。
しかし、何もないことを示す位取り記号が、独立した数へと発展したのはインドだけでした。ゼロの概念が登場したことで、数を効率的かつ確実に書き表せるようになりました。それによって記録を適切に管理できるようになり、重要な金銭計算を後から検証し、関係者全員の公正な行為を確かめることが可能になりました。ゼロは、数学の民主化への道を開く重要な一歩でした。
数学の概念を扱うこうした使いやすい計算手段に、開かれた学術・科学文化が組み合わさり、600年ごろまでには、インドで数学上の発見が相次ぐための条件が整っていました。これに対し、西洋で同様の手段が普及したのは13世紀初頭になってからでした。ただし、フィボナッチの著書『リベル・アバチ』がありました。
二次方程式の解法
7世紀には、ゼロを扱う規則を記した最初の文献上の証拠が、『ブラーマスプタ・シッダーンタ』で体系化されました。この画期的な著作で、天文学者のブラーマグプタは、二次方程式（中高生の数学学習者におなじみのもの）の解法や平方根の計算法を示しました。
負の数の規則
ブラーマグプタは、負の数を扱う規則も示しました。彼は、正の数を財産、負の数を負債と呼びました。翻訳者によれば、彼は「ゼロから財産を引くと負債になる」「ゼロから負債を引くと財産になる」という規則を書き残しました。
後者は、負の数を引くことは正の数を足すことと同じだという、学校で学ぶ規則と同じです。ブラーマグプタは「負債と財産の積は負債である」ことも知っていました。つまり、正の数に負の数を掛けると負になります。
おおむね、ヨーロッパの数学者たちは負の数に意味があると認めることに消極的でした。多くの人は、負の数は不合理だと考えました。数は数えるために発達したのだから、負の数で何を数えられるのか、と彼らは疑問を呈しました。インドや中国の数学者は、答えの一つが負債であることを早くから認識していました。
たとえば、原始的な農業社会で、ある農民が別の農民に牛を7頭借りているなら、実質的に前者の牛の数はマイナス7頭です。負債を返すために動物を買いに出た場合、牛を7頭買って後者に渡し、自分の牛の数をゼロに戻さなければなりません。その後に買う牛はすべて、プラスの数に加わります。
微積分の基礎
負の数、そしてゼロさえも受け入れようとしなかったために、ヨーロッパの数学は長年足踏みしました。ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、17世紀後半の微積分の発展において、ゼロと負の数を体系的に使った最初期のヨーロッパ人の一人でした。微積分は変化率を測るために用いられ、科学のほぼあらゆる分野で重要です。とりわけ、現代物理学における多くの重要な発見を支えています。
しかし、インドの数学者バースカラは、ライプニッツの着想の多くを500年以上も前にすでに見いだしていました。バースカラは、代数学、算術、幾何学、三角法にも大きく貢献しました。たとえば、いくつかの「ディオファントス」方程式の解など、多くの成果を示しましたが、それらはヨーロッパで再発見されるまで何世紀もかかりました。
ケーララ学派の天文学と数学は、サンガマグラーマのマーダヴァが1300年代に創設し、数学的帰納法の使用や微積分に関する初期の成果など、数学における数々の先駆的業績を生み出しました。ケーララ学派は微積分の体系的な規則を確立しませんでしたが、その支持者たちは、後にヨーロッパで再び導き出されるテイラー級数展開、無限小、微分などの成果をいち早く考案しました。
ゼロを単なる位取り記号から独立した数へと変えたインドでの飛躍は、ヨーロッパが暗黒時代にとどまっていた時期に、亜大陸で数学的に先進的な文化が栄えていたことを示しています。その評価は、ヨーロッパ中心主義の偏見によって損なわれていますが、亜大陸には豊かな数学の伝統があり、21世紀にもそれを受け継いで、数学のあらゆる分野の最前線で重要な役割を担う人材を輩出しています。
