素数は、数論と呼ばれる数学の分野で学ぶ最も基本的なテーマの一つです。
素数とは、自分自身と1以外では割り切れない数です。たとえば7は素数です。7を自分自身または1以外の数で割ると、余りが出るか、端数が生じるからです。6は素数ではありません。6を2で割ると3になるからです。
数論において素数が重要な理由の一つは、ある意味で自然数を構成する基本要素だからです。 算術の基本定理 （その名が示すとおり、基本的に重要な定理です）は、どの数も素数からなる一意な列に因数分解できると述べています。12 = 2 x 2 x 3、50 = 5 x 5 x 2、69 = 3 x 23。
つまり、数を研究することは基本的に、素数の性質を研究することにほかなりません。数学者たちは何千年にもわたり、素数についてかなり多くのことを解明してきました。ユークリッドの最も有名な証明の一つは、素数が無限に存在することを示しています。
証明の基本的な考え方 は、素数が有限個しかなく、そのすべてを列挙できたと仮定することです。その素数をすべて掛け合わせて1を足せば、リストにあるどの素数でも割り切れない新しい数ができます。その数自体がリストにない素数であるか、あるいはリストにない素因数を持つことになります。どちらの場合も、素数のリストが有限であるという考えに矛盾するため、素数は無限に存在しなければなりません。
19世紀、数学者たちは 素数定理を証明しました。ある大きな自然数が与えられると、この定理は、その数より小さい数のうち素数であるものがいくつあるかを概算します。特定の近似公式に従って、大きな数になるほど素数はまれになります。
素数について多くのことが分かっているにもかかわらず、一見単純そうで、まだ証明も反証もされていない予想が数多くあります。ここでは、そのような予想をいくつか紹介します。
双子素数
双子素数 とは、間に一つだけ数を挟む素数のペアです。5と7、11と13、29と31がその例です。双子素数予想とは、無限に存在する素数の中に、双子素数のペアが無限に存在するという予想です。
ほとんどの数学者は、この予想は正しいはずだと考えています。数が大きくなるほど素数はまれになりますが、素数についての数論研究者の経験と直感から、双子素数のペアはそれでも時折現れるはずだと考えられるためです。それにもかかわらず、この予想はまだ証明も反証もされていません。
何世紀もの間、完全に未解決の問題だったこの問題で、2013年春、ニューハンプシャー大学の数学者、張益唐が大きな進展を遂げ、 2014年9月にはその功績によりマッカーサー「ジーニアス」フェローシップを授与されました。張は双子素数予想そのものを証明したわけではありませんが、革新的な手法を考案し、間にある数が70,000,000以下の素数ペアが無限に存在することを示しました。これは非常に大きな数ですが、素数間の距離について、これまでに発見された初めての有限の上限でした。
2013年秋、大勢の数学者が張の研究や類似の成果を発展させ、協力して上限を次々と引き下げました。そして最終的に、間にある数が最大246の素数ペアが無限に存在することを証明しました。
ゴールドバッハ予想
これも、簡潔に述べられる問題です。 ゴールドバッハ予想 は、2より大きいすべての偶数は二つの素数の和として表せると述べています。小さな数では確かに成り立ちます。4 = 2 + 2、8 = 5 + 3、20 = 13 + 7。しかし、すべての偶数については証明されていません。
21世紀のコンピューターと、よく設計されたプログラムを駆使した研究者たちは、 この予想が4,000,000,000,000,000,000以下の偶数について成り立つことを確認しました。これは予想を支持するかなり強い証拠ですが、数学では、途方もなく大きな有限の上限より小さいすべての数で成り立つと示しても、すべての数で成り立つと言うには不十分です。
回文素数
英語の回文とは、前から読んでも後ろから読んでも同じ単語や文のことです。「radar」という単語と「A man, a plan, a canal: Panama」という句は、どちらも回文です。
同様に、回文素数とは、10進表記を前から読んでも後ろから読んでも同じになる素数です。11、101、16561は、 回文素数の例です。
私が個人的に最も好きな素数は、 ベルフェゴールの素数です。1000000000000066600000000000001。1の後に0が13個続き、666が続き、さらに0が13個続いて、最後に1が来る数です。666は「獣の数字」だと ヨハネの黙示録13章18節に記されており、13にはさまざまな迷信が結び付けられていることを考えると、これは10進法で考えられる最も不吉な素数でしょう。
双子素数と同様、回文素数が無限に存在するかどうかは、現在のところ分かっていません。ただし、回文素数は双子素数よりも数学研究が活発でない分野です。
ゴールドバッハ予想や双子素数予想のような問題は、素数そのものの構造と分布だけに依拠しています。しかし、回文素数は使用する記数法によって異なります。2進法の回文は、10進法の回文とはまったく異なります。10進法で31と書く素数は、2進法では11111と書きます。2進法ではこの素数は回文ですが、10進法ではそうではありません。
数学者たちは回文素数も研究しており、使用する記数法にかかわらず 回文の中では素数がまれである といった結果も得ていますが、数論では、表記に左右されない素数の性質に主に焦点を当てる問題に、より多くの労力が注がれています。
リーマン予想
リーマン予想 は、数学で最も重要な未解決問題を集めた「ミレニアム懸賞問題」の一つです。これらの問題を一つ解決すると、1,000,000ドルの賞金が贈られます。
リーマン予想は、先に述べた素数定理の拡張に関係しています。素数定理は、ある大きな数より小さい素数の個数を近似する公式を与えます。リーマン予想は、推定の正確さがどの程度になるかを示す公式を提示する、より具体的な結果です。
19世紀の偉大な数学者ベルンハルト・リーマンは、その誤差の上限を複素数平面上の特別な関数と結び付けました。リーマン予想そのものは、その関数の値がゼロとなる複素平面上のすべての点が、平面上の特定の直線上にあると述べています。これが事実なら、誤差の上限も成り立ちます。
このリストにある他の問題と同様、リーマン予想にも相当量の数値的証拠があり、ほとんどの数学者は正しいと考えています。数学者たちは関数の零点を数十億個検証し、そのすべてがその直線上にあることを確認しています。
これまで見てきた他の問題と同じく、この予想にもまだ完全な証明はありません。どの場合も、ほとんどの数学者はこれらの予想が正しいと考え、かなりの経験的証拠もありますが、完全な証明を求める探究は続いています。
数学者たちのこうした一見執拗な行動には、厳密な証明が数学の主要な目標の一つであることも関係しています。しかし、双子素数予想やリーマン予想の証明には、根本的に新しい数学的手法や洞察が必要となる可能性が高く、まったく新しい研究の道筋や探究すべき着想につながり得るからでもあります。数学では、証明を見つけるまでの道のりが、結果そのものと同じくらい興味深いこともよくあります。
次との共同掲載： Business Insider
著者：Andy Kierszは、Business Insiderの定量分析担当記者です。
画像：2012年5月22日、マカオのGaming Expo Asiaで、スロットマシンの前にあるルーレットのホイール上にボールが見える。REUTERS/Bobby Yip。
