感染症の流行（エピデミック）は、関心を引くニュース題材となる。劇的な見出しには、全身防護具を着た医療従事者や、顕微鏡で作業する研究者の写真がしばしば添えられる。しかし、感染の広がり方を理解し予測するために舞台裏で働く数学者の写真が取り上げられることは、あまりない。
数学モデルは、人口集団における感染の広がりを単純化して表現し、感染症が将来どのように進行するかを理解するために用いられる。これらの予測により、公衆衛生資源（例えば 病床 または ワクチン接種プログラム ）をより効果的に活用できる。例えば、集団のうち何人が感染しやすいかが分かれば、病院は治療に必要な病床や資源をどれだけ割り当てる必要があるかを把握できる。
病気の数学モデルを作る作業は、エボラ出血熱や 大腸菌、ヒトの集団、または体内の細胞集団を対象とする場合でも、ほぼ同じ基本原則から始まる。最も単純には、モデルは感染状況に基づいて人々を分類する。例えば、10人の集団のうち9人が特定の病原体に感染していない場合、その人々は「感受性者」[S]とされる。残りの1人は感染しており、他者に感染させうるため「感染性者」[I]とされる。感染して回復し、その病原体への抵抗力を得た人は「免疫者」[R]とされる。
下図は、水痘のような病原体に最も一般的に適用される数学モデルである「SIR」モデルの基本構造を示している。他の病原体では、やや異なるモデルが必要となる場合がある。例えば、再感染しうる病原体のうち 淋病 のようなものは、多くの場合、免疫段階を含まない。一部の病原体、例えば エボラ出血熱 には、「曝露」段階があり、個人は感染しているものの、まだ他者に感染を広げることはできない。
単純なSIRモデル
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モデルを特定の状況に固有のものにするには、研究対象の集団と感染性病原体に関する情報を用いる。これには、病原体の感染力、個人が感染性を保つ期間、集団の規模、ある時点での感染者数などが含まれる。
モデルには、成人と子ども、男性と女性といった集団の異なる部分がどのように相互作用するか、また、くしゃみや性的接触など、病原体がどのように広がるかに関する情報も含めることができる。個人が以前に感染したことがあるか、またはワクチン接種を受けているかも、モデルを変えうる。これらの個人は当初、免疫者として分類され、感受性者には含まれない。これは 麻疹モデルに組み込まれている要素である。このウイルスに対しては、多くの人が小児期にワクチン接種を受けているためである。
この集団と病原体に関する情報は、人々が異なる状態の間をどれだけ速く移行するかを計算する方程式の作成に用いられる。前述の例を用いると、感受性者が感染性者になる速度を計算でき、これを「b」と表す。これは、集団の総規模（10人）と、病原体が2人の間で伝播される確率（ここでは例として80%とする）によって決まる。
1人あたりの感染率は、80%（または0.8）を10で割った値、すなわち0.08となる。これに、既に感染性を持つ人数（1）と感受性者数（9）を掛けると、0.08 x 9 x 1 = 0.72となる。つまり、平均すると1日に1人弱が感染することを意味する。
モデルを設定したら、感染がどのように進行するかを予測するために、時間を進めて実行する。下のグラフのモデル出力は、感受性者99人、感染性者1人、免疫者0人で始まる100人の集団を示している。時間の経過とともに、感受性者が感染性者になり、その後免疫者に置き換わるにつれて、各状態の人数が変化する。7日目までに感染は収束し、感染後に免疫を持つ人が集団の60%、感受性のまま残る人が40%となる。
時間経過によるモデル
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モデルが集団における感染の実態を正しく表しているかどうかを判断するには、その結果を最近または現在の感染データと照合できる。モデルの出力が実際のデータに近いほど、モデルが実際の状況を表している可能性は高くなる。モデルが既知の感染データに適合すれば、（他の状況が変わらなければ）将来の感染動向もかなり適切に予測できると想定できる。
現実世界での応用において、数学モデルは公衆衛生のベストプラクティスに直接的な影響を与えてきた。例えば、結核（TB）の新しいワクチンを子どもに接種するか成人に接種するかによって、疾病有病率をより大きく下げられるかどうかを判断するためにモデル化が用いられた。
この研究では、結核に対して開発された新しいワクチンのいずれかが 成人に接種された場合、2050年より前に、より低いコストで、より多くの結核症例を予防できることが分かった。これらの知見とその他の証拠に基づき、現在、新しい結核ワクチンの臨床試験では、接種対象集団として成人を登録するよう設計されている。
グローバルに結びついた現代において、病原体は今後も 出現または再出現 し、拡大し続けるだろう。モデルは、現在の情報を用いて将来の感染について強力な予測を行うことを可能にする。これにより、数学モデラーは、全身防護具を着用して働く医療従事者に不可欠な提言を行うことができ、感染拡大の抑制と世界の健康の改善に貢献している。
本記事は、 The Conversationとの協力により掲載されたものです。掲載は、世界経済フォーラムによる見解の承認を意味するものではありません。
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著者: Erin Lafferty は、Research fellow（研究員）として London School of Hygiene & Tropical Medicine に所属しています。および Gwen Knight は、Research fellow（研究員）として London School of Hygiene & Tropical Medicine に所属しています。
画像: 山東省青島の空港にある検疫研究室で、税関警察官にエボラ出血熱の症状を示す衛生検査・検疫研究者。REUTERS/China Daily
