雪の降る1月のある日、大学生のクラスで、数学について考えたとき最初に思い浮かぶ言葉を尋ねました。最も多かったのは「計算」と「方程式」でした。
同じ質問をプロの数学者たちが集まる場で尋ねると、そのどちらの言葉も挙がりませんでした。代わりに、「批判的思考」や「問題解決」といった言葉が出ました。
残念ながら、これはよくあることです。プロの数学者が数学と考えるものと、一般の人々が数学と考えるものはまったく異なります。数学を計算と同じものだと説明する人がこれほど多いのですから、「数学なんて大嫌いだ」という声をよく耳にするのも不思議ではありません。
そこで私は、少し型破りな方法でこの問題を解決しようとしました。勤務先のカセッジ・カレッジで「編み物の数学」という授業を開講することにしたのです。この授業では、鉛筆も紙も電卓も（なんと）教科書も、教室からすっかりなくしました。その代わり、話し合い、手を動かし、絵を描き、ビーチボールから巻き尺まで、さまざまなものを使って遊びました。宿題では、ブログを書いて振り返りました。そしてもちろん、編み物もしました。
同じなのに違う
数学の内容の中心にあるものの一つが方程式で、その要となるのが等号です。x = 5のような方程式は、ある量を表す厄介なxが5と同じ値であることを示します。数の5とxの値は、まったく同じでなければなりません。
一般的な等号は非常に厳密です。「まったく同じ」から少しでもずれれば、二つのものは等しくないことになります。しかし、現実には二つの量がまったく同じではなくても、意味のある基準に照らせば本質的には同じだといえる場合がたくさんあります。
たとえば、正方形のクッションが二つあると想像してください。一つ目は、上が赤、右が黄色、下が緑、左が青です。二つ目は、上が黄色、右が緑、下が青、左が赤です。
この二つのクッションはまったく同じではありません。一方は上が赤で、もう一方は上が黄色です。それでも、確かによく似ています。実際、赤い面が上のクッションを反時計回りに一度回せば、まったく同じになります。
同じクッションをベッドに置きながら、別のクッションのように見せる方法は何通りあるでしょうか。少し考えてみると、色付きクッションの配置は全部で24通りありますが、あるクッションを動かして作れるのはそのうち8通りだけです。
学生たちは編み図を使い、2色の編み込みクッションを作ってこれを実演しました。
学生たちは、図を8通りに動かすとそれぞれ異なる絵になる正方形の編み図を作りました。それをクッションに編み上げ、実際にクッションを動かして絵が同等であることを示しました。
ゴムシート幾何学
取り上げたもう一つのテーマは、「ゴムシート幾何学」と呼ばれることもある分野です。世界全体がゴムでできていると想像し、そのうえで形がどう見えるかを考え直します。
編み物を使って、この概念を考えてみましょう。帽子や手袋のような丸いものを編む方法の一つに、輪針ではなく、先端が二つある特別な編み針を使う方法があります。編んでいる間、帽子は3本の針で形作られるため、三角形のように見えます。その後、針から外すと、伸縮性のある毛糸がゆるんで円形になり、よく見かける帽子の形になります。
これが「ゴムシート幾何学」で捉えようとしている概念です。柔軟な素材でできていれば、三角形と円はどういうわけか同じものになり得ます。実際、この研究分野では、すべての多角形が円になります。
すべての多角形が円なら、ほかにどんな形があるのでしょうか。物体が柔軟でも区別できる特徴はいくつかあります。たとえば、形に辺があるかないか、穴があるかないか、ねじれがあるかないかです。
編み物における、円と同等ではないものの例が、インフィニティ・スカーフです。家で紙のインフィニティ・スカーフを作るなら、長い紙帯を用意し、左上の角と右下の角、左下の角と右上の角を貼り合わせて、短辺同士をつなぎます。次に、物体の周りを一周するように、上向きの矢印を描きます。面白いことが起きるはずです。
この授業では、インフィニティ・スカーフやヘッドバンドのように、柔軟な素材で作っても互いに異なる物体を編む時間を設けました。矢印などの印を加えると、物体が具体的にどう違うのかを目で確かめやすくなりました。
数学のさまざまな味わい
この記事で紹介した内容が数学らしく聞こえないとしても、これらがまさに数学であることを強調したいと思います。ここで取り上げた抽象代数学と位相幾何学は、通常、大学3年生や4年生の数学専攻者が学ぶ分野です。それでも、適切な媒体を使えば、これらの分野の考え方はとても身近なものになります。
私の考えでは、こうした数学のさまざまな味わいを一般の人々に隠したり、従来の数学より軽視したりする理由はありません。さらに、研究によると物理的に操作できる教材を使うと、あらゆる学習段階で数学の学習効果が高まることが示されています。
より多くの数学者が古典的な手法をいったん脇に置ければ、計算は数学と同じものだという根強い誤解を、世界が乗り越えられるかもしれません。そしてひょっとすると、数学的な思考を受け入れる人がもっと増えるでしょう。比喩としてではなく、文字どおりクッションを抱えるように。
